Задание №25 ОГЭ: Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на… — задача 35

Рисунок. Треугольник $ABC$ с острым углом $A$. На стороне $AC$ отмечены $M$ и $N$, $AM=12$, $AN=45$. Окружность через $M$, $N$ касается луча $AB$ в точке $T$.

По теореме о касательной и секущей $AT=\sqrt{AM\cdot AN}=\sqrt{12\cdot 45}=6\sqrt{15}$. Пусть $\varphi=\angle BAC$, $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, $\sin\varphi=\dfrac{1}{4}$. По теореме косинусов в $\triangle AMT$: $MT^2=AM^2+AT^2-2\cdot AM\cdot AT\cos\varphi=144+540-2\cdot 12\cdot 6\sqrt{15}\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}=684-540=144$, $MT=12$. В $\triangle ANT$: $NT^2=2025+540-2\cdot 45\cdot 6\sqrt{15}\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}=2565-2025=540$, $NT=6\sqrt{15}$. Угол между касательной $AT$ и хордой $TM$ равен вписанному углу $\angle MNT$, опирающемуся на $MT$. По теореме синусов в $\triangle ANT$: $\sin\angle ANT=\dfrac{AT\sin\varphi}{NT}=\dfrac{6\sqrt{15}\cdot 1/4}{6\sqrt{15}}=\dfrac{1}{4}$, значит $\sin\angle MNT=\dfrac{1}{4}$. Следовательно $2R=\dfrac{MT}{\sin\angle MNT}=\dfrac{12}{1/4}=48$, $R=24$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ