Задание №25 ОГЭ: Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на… — задача 36

Рисунок. Треугольник $ABC$ с острым углом $A$; на стороне $AC$ точки $M$ и $N$, $AM=9$, $AN=11$. Окружность проходит через $M$ и $N$ и касается луча $AB$ в точке $T$.

Из степени точки $A$: $AT^2=AM\cdot AN=9\cdot 11=99$, $AT=3\sqrt{11}$. Пусть $\varphi=\angle BAC$, $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$, $\sin\varphi=\dfrac{5}{6}$. По теореме косинусов в $\triangle AMT$: $MT^2=81+99-2\cdot 9\cdot 3\sqrt{11}\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{6}=180-99=81$, $MT=9$. В $\triangle ANT$: $NT^2=121+99-2\cdot 11\cdot 3\sqrt{11}\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{6}=220-121=99$, $NT=3\sqrt{11}$. По теореме об угле между касательной и хордой угол $\angle MNT$, опирающийся на $MT$, равен углу $\angle ATM$. По теореме синусов в $\triangle ANT$: $\sin\angle ANT=\dfrac{AT\sin\varphi}{NT}=\dfrac{3\sqrt{11}\cdot 5/6}{3\sqrt{11}}=\dfrac{5}{6}$, $\sin\angle MNT=\dfrac{5}{6}$. Радиус: $2R=\dfrac{MT}{\sin\angle MNT}=\dfrac{9}{5/6}=\dfrac{54}{5}$, $R=\dfrac{27}{5}=5{,}4$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ