Задание №25 ОГЭ: В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту… — задача 37

Рисунок. Остроугольный треугольник $ABC$; из $B$ опущена высота $BH$ на $AC$, из $A$ проведена биссектриса угла $A$, которая пересекает $BH$ во внутренней точке $P$. $BP:PH=5:4$.

Пусть $BH$ — высота из $B$ на $AC$, $P=AP\cap BH$, где $AP$ — биссектриса угла $A$. В прямоугольном $\triangle ABH$: $\angle BAH=A$, $AH=AB\cos A$, $BH=AB\sin A$. Биссектриса из $A$ делит угол $A$ пополам и пересекает $BH$ в точке $P$; рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle APH$ и $\triangle ABH$ с общим катетом $AH$. В $\triangle APH$ угол при $A$ равен $A/2$, поэтому $PH=AH\tan(A/2)=AB\cos A\tan(A/2)$. Тогда $BP=BH-PH=AB(\sin A-\cos A\tan(A/2))$. Упростим $\sin A-\cos A\tan(A/2)=2\sin(A/2)\cos(A/2)-\cos A\cdot\dfrac{\sin(A/2)}{\cos(A/2)}=\dfrac{\sin(A/2)}{\cos(A/2)}(2\cos^2(A/2)-\cos A)=\dfrac{\sin(A/2)}{\cos(A/2)}$ (так как $2\cos^2(A/2)-\cos A=1$). Значит $BP=AB\tan(A/2)$, а $PH=AB\cos A\tan(A/2)$, откуда $\dfrac{BP}{PH}=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{5}{4}$, $\cos A=\dfrac{4}{5}$, $\sin A=\dfrac{3}{5}$. По теореме синусов $2R=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{6}{3/5}=10$, $R=5$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ