Задание №25 ОГЭ: Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а…

Рисунок. Трапеция с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и углами $50^\circ$ и $40^\circ$ при $AD$; продолжения боковых сторон пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Середины оснований соединены отрезком длины $13$, середины боковых сторон — отрезком (средней линией) длины $15$.

Углы при основании: $50^\circ+40^\circ=90^\circ$, значит продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом в точке $P$. Тогда медиана $PM_1$ прямоугольного треугольника $PAD$, проведённая к гипотенузе $AD=a$, равна $\dfrac{a}{2}$; аналогично для $BC$. Отсюда отрезок между серединами оснований равен $\dfrac{a-b}{2}$, а средняя линия $\dfrac{a+b}{2}$. Имеем $\dfrac{a+b}{2}=15$, $\dfrac{a-b}{2}=13$. Откуда $a=28$, $b=2$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ