Задание №25 ОГЭ: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O… — задача 43

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$ с диагональю $AC$; в $\triangle ABC$ вписана окружность с центром $O$. Отмечены расстояния от $O$ до вершины $A$ ($=13$), до прямой $AD$ ($=6$) и до прямой $AC$ ($=5$).

$O$ — инцентр $\triangle ABC$, $r=\mathrm{dist}(O,AC)=5$, $AO=13$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $AO$ и катетом $r$ (опущенным на $AB$): $\sin(A/2)=r/AO=5/13$, $\cos(A/2)=12/13$, $\sin A=120/169$, $\cos A=119/169$. Прямая $AD\parallel BC$ и проходит через $A$; расстояние от $O$ до $AD$ равно $h_a-r$, где $h_a$ — высота из $A$ (точнее, высота треугольника $ABC$, опущенная на $BC$, равна $h_a$; $O$ удалён от $BC$ на $r$ и от $AD$ на $h_a-r$ в силу параллельности). Значит $h_a=r+6=11$. По стандартной формуле $s-a=AO\cos(A/2)=12$. Из $S=rs=\dfrac{1}{2}a\cdot h_a$ и $s=a+(s-a)$ следует $r(a+12)=\dfrac{1}{2}a\cdot 11$, т.е. $5a+60=5{,}5a$, $a=120$. Тогда $S_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot 120\cdot 11=660$, $S_{ABCD}=2\cdot 660=1320$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ