Задание №25 ОГЭ: В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 28 и… — задача 42

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с $AD=28$, $BC=4$, $AB=15$; продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом в точке $P$. Окружность проходит через $A$, $B$ и касается прямой $CD$.

Так как углы при $AD$ дают $90^\circ$, продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом в точке $P$. Из подобия $\triangle PBC\sim\triangle PAD$: $\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}$. $PA-PB=AB=15$: $PA=\dfrac{15\cdot 7}{6}=17{,}5$, $PB=2{,}5$. Поскольку $PA\perp CD$, точки $A$ и $B$ лежат на одном перпендикуляре к прямой $CD$, проведённом из $P$, на расстояниях $PA$ и $PB$ от $P$. Окружность через $A$, $B$, касающаяся $CD$, имеет центр на серединном перпендикуляре к $AB$, параллельном $CD$ на расстоянии $\dfrac{PA+PB}{2}$ от $P$; это же число равно и расстоянию от центра до $CD$, то есть радиусу: $R=\dfrac{PA+PB}{2}=\dfrac{20}{2}=10$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ