Задание №25 ОГЭ: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O… — задача 44

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$ с проведённой диагональю $AC$; в $\triangle ABC$ вписана окружность с центром $O$; отмечены $AO=25$, расстояние от $O$ до $AD$, равное $15$, и до $AC$, равное $7$.

$r=\mathrm{dist}(O,AC)=7$, $AO=25$. Из прямоугольного треугольника, где $r$ — катет, опущенный из $O$ на $AB$, $\sin(A/2)=7/25$, $\cos(A/2)=24/25$. Прямая $AD\parallel BC$ проходит через $A$, поэтому $\mathrm{dist}(O,AD)=h_a-r=15$, $h_a=22$. По формуле $s-a=AO\cos(A/2)=24$. Из $rs=\dfrac{1}{2}a h_a$ и $s=a+(s-a)$: $r(a+24)=\dfrac{1}{2}\cdot 22 a$, $7a+168=11a$, $a=42$. $S_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot 42\cdot 22=462$. $S_{ABCD}=2\cdot 462=924$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ