Задание №25 ОГЭ: В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а… — задача 16

Рисунок. Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD>BC$; вписанная окружность касается всех четырёх сторон. Проведены диагонали $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке внутри трапеции.

В равнобедренную трапецию вписана окружность, значит $AD+BC=AB+CD=2AB$ (равенство сумм противоположных сторон и $AB=CD$). Периметр $P=4AB=160$, $AB=40$. Высота $h=2r$, площадь $S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=\dfrac{P}{4}\cdot h$, откуда $h=\dfrac{4S}{P}=\dfrac{4\cdot 1280}{160}=32$. Тогда $\dfrac{AD-BC}{2}=\sqrt{AB^2-h^2}=\sqrt{1600-1024}=24$, $AD+BC=80$, $AD=64$, $BC=16$. Диагонали делят высоту в отношении $AD:BC$, поэтому расстояние от их пересечения до меньшего основания $BC$: $h\cdot\dfrac{BC}{AD+BC}=32\cdot\dfrac{16}{80}=6{,}4$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ