Задание №25 ОГЭ: В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и… — задача 40

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=34$ и $BC=14$; боковые стороны $AB=12$ и $CD$ при продолжении пересекаются в точке $P$ под прямым углом (сумма углов при $AD$ равна $90^\circ$). Окружность проходит через $A$ и $B$ и касается прямой $CD$.

Так как сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются под прямым углом в точке $P$. Треугольники $PBC$ и $PAD$ подобны с коэффициентом $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{14}{34}=\dfrac{7}{17}$; при этом $PA$ и $PB$ лежат на одной прямой (прямой $AB$), а $PC$, $PD$ — на прямой $CD$, $PA\perp PD$. Из $PA-PB=AB=12$ и $PB=\dfrac{7}{17}PA$ получаем $PA=\dfrac{12\cdot 17}{10}=20{,}4$, $PB=\dfrac{12\cdot 7}{10}=8{,}4$. Пусть окружность проходит через $A$, $B$ и касается прямой $CD$ в точке $T$. По теореме о касательной и секущей из точки $P$: $PT^2=PB\cdot PA=8{,}4\cdot 20{,}4$. Центр искомой окружности $O$ равноудалён от $A$ и $B$ (значит лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, то есть на прямой, параллельной $CD$ на расстоянии $\dfrac{PA+PB}{2}=14{,}4$ от $P$ по прямой $AB$). Одновременно $O$ удалён от $CD$ на $R$. Так как $PA\perp CD$, расстояние от $O$ до $CD$ равно $\dfrac{PA+PB}{2}=14{,}4$, что и есть радиус: $R=\dfrac{PA+PB}{2}=14{,}4$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ