Задание №25 ОГЭ: В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту… — задача 39

Рисунок. Треугольник $ABC$; из $B$ опущена высота $BH$ на $AC$, из $A$ проведена биссектриса угла $A$, она пересекает $BH$ в точке $P$, $BP:PH=5:3$.

По той же схеме: в прямоугольном $\triangle ABH$ — $AH=AB\cos A$, и в $\triangle APH$ с углом $A/2$ при $A$ имеем $PH=AB\cos A\tan(A/2)$, $BP=AB\tan(A/2)$ (после упрощения $\sin A-\cos A\tan(A/2)=\tan(A/2)$). Поэтому $\dfrac{BP}{PH}=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{5}{3}$, $\cos A=\dfrac{3}{5}$, $\sin A=\dfrac{4}{5}$. По теореме синусов $2R=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{8}{4/5}=10$, $R=5$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ