Задание №25 ОГЭ: В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и… — задача 41

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=34$, $BC=2$, боковой стороной $AB=24$; при продолжении боковые стороны пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Окружность проходит через $A$, $B$ и касается прямой $CD$.

Сумма углов при $AD$ равна $90^\circ$, значит продолжения $AB$ и $CD$ перпендикулярны в точке $P$. По подобию $\triangle PBC\sim\triangle PAD$: $\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2}{34}=\dfrac{1}{17}$. $PA-PB=AB=24$, $PA(1-1/17)=24$, $PA=25{,}5$, $PB=1{,}5$. Так как $PA\perp CD$, точки $A$, $B$ расположены на общем перпендикуляре $PA$ к прямой $CD$, на расстояниях $PA$ и $PB$ от $P$. Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, лежит на серединном перпендикуляре к $AB$ (параллельно $CD$ на расстоянии $\dfrac{PA+PB}{2}$ от $P$). Расстояние от центра до $CD$ равно радиусу, значит $R=\dfrac{PA+PB}{2}=\dfrac{27}{2}=13{,}5$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ