Задание №25 ОГЭ: В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту… — задача 38

Рисунок. Треугольник $ABC$; высота $BH$ падает на сторону $AC$; биссектриса угла $A$ пересекает отрезок $BH$ в точке $P$, причём $BP:PH=13:12$.

В прямоугольном $\triangle ABH$: $AH=AB\cos A$, $BH=AB\sin A$. Биссектриса угла $A$ делит его пополам; в прямоугольном $\triangle APH$ (с прямым углом при $H$) угол при $A$ равен $A/2$, значит $PH=AH\tan(A/2)=AB\cos A\tan(A/2)$. Далее $BP=BH-PH$. Используя тождество $\sin A-\cos A\tan(A/2)=\tan(A/2)$ (проверяется через $\sin A=2\sin(A/2)\cos(A/2)$ и $\cos A=2\cos^2(A/2)-1$), получаем $BP=AB\tan(A/2)$. Итого $\dfrac{BP}{PH}=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{13}{12}$, значит $\cos A=\dfrac{12}{13}$, $\sin A=\dfrac{5}{13}$. $2R=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{20\cdot 13}{5}=52$, $R=26$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ