ЕГЭ · математика · задание 8
Задание 8 ЕГЭ (профиль) по математике: производная и первообразная
Обновлено: 19.07.2026
Задание 8 ЕГЭ (профиль) по математике проверяет, как ты понимаешь геометрический и физический смысл производной, а также связь функции с её производной и первообразной. Здесь нужно читать графики функции и её производной, работать с касательной и задачами на движение. Разберём алгоритм и потренируемся на реальных примерах из банка задач.
Задачи №8 с разбором
Что проверяет задание №8
Задание 8 проверяет владение понятием производной и первообразной и умение применять их к графикам и практическим ситуациям. Экзаменуемый должен уверенно связывать поведение функции с её производной: находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, значение углового коэффициента касательной по графику $f(x)$ или $f'(x)$, а также определять поведение первообразной. Отдельный пласт — геометрический смысл производной (касательная, параллельная данной прямой) и физический смысл (скорость как производная координаты, ускорение как производная скорости). Задача даёт 1 первичный балл и относится к первой части, поэтому важны точность чтения графика и аккуратность в вычислениях.
Как решать: алгоритм
Определи, о чём речь: график функции $y=f(x)$, график производной $y=f'(x)$, касательная, первообразная или физический смысл (скорость, ускорение).
Помни главное правило: значение производной $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику $f(x)$ в точке $x_0$.
Для касательной, параллельной прямой $y=kx+b$: приравняй производную к $k$, то есть реши $f'(x)=k$, и найди абсциссу точки касания.
Для точек экстремума по графику функции ищи внутренние точки, где возрастание сменяется убыванием (максимум) или наоборот (минимум); концы интервала не считаются.
Если дан график производной $y=f'(x)$: функция $f(x)$ возрастает там, где $f'(x)>0$, убывает где $f'(x)<0$, а её точки экстремума — там, где $f'(x)$ меняет знак (пересекает ось $Ox$).
Если ищут первообразную: по графику самой функции $f(x)$ её первообразная $F(x)$ возрастает при $f(x)>0$ и убывает при $f(x)<0$, а экстремумы $F(x)$ — в точках, где график $f(x)$ пересекает ось $Ox$ со сменой знака.
Если дан закон движения $x(t)$, то скорость $v(t)=x'(t)$, ускорение $a(t)=v'(t)$; подставь нужный момент времени. В ответ запиши только требуемую величину — целое число или конечную десятичную дробь без единиц измерения.
Типичные ошибки и советы
Путают график функции с графиком её производной (или первообразной) и применяют к ним одни и те же признаки.
Считают точками экстремума концы интервала или точки, где график просто пересекает ось, а не меняет монотонность.
Забывают, что угловой коэффициент касательной — это значение производной, а не само значение функции $f(x_0)$.
При параллельных прямых берут свободный член вместо коэффициента при $x$ или путают знак углового коэффициента.
Путают скорость и ускорение: берут первую производную вместо второй (или наоборот) в задачах на движение.
Держи в голове одну связку: производная = угловой коэффициент касательной = тангенс угла наклона. Она решает большинство таких задач.
На графике производной сначала отметь нули (пересечения с осью $Ox$) и знаки — так сразу видно, где функция растёт, падает и где у неё экстремумы.
Заппи объясняет каждый шаг
Застрял на задании №8? ИИ-репетитор подскажет следующий шаг, найдёт ошибку и проверит решение по фото. Всё бесплатно.